Con este documento se desea complementar la temática tratada en el aula de clase con el grado 10° de la I. E José Joaquín Ortiz del municipio de Puerto Boyacá, referente al estudio de las razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°. En él incluimos una serie de herramientas que podrán ser de ayuda a la hora de comprender la importancia de la temática así como complementar o fortalecer los conceptos vistos en clase.
Historia de la Trigonometría
La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiformes, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.
La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r... (Sacado de wikipedia).
Lectura completa en :Historia de la Trigonometría
Reseña Histórica a Modo de Historieta
La siguiente línea de tiempo muestra la evolución de la trigonometría a través de los siglos
Imagen sacada de: http://es.calameo.com/read/004161652cda9ee1f534a
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Razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°
Durante el desarrollo de la temática en clase referente a las funciones trigonométrica, hemos invertido buena parte del tiempo en comprender el desarrollo de dichas funciones haciendo uso exclusivo de la circunferencia unitaria, pudiendo solucionar varios ejercicios de aplicación de esta temática. Ahora nos vemos en la necesidad de solucionar algunos problemas de aplicación en los cuales la temática mencionada puede no llegar a ser tan útil comparada con la implementación de los triángulos rectángulos.
Cabe resaltar que para poder comprender al máximo la temática a tratar es necesario tener un conocimiento básico en la solución de triángulos rectángulos mediante el uso del Teorema de Pitágoras.
El siguiente vídeo puede despejar algunas dudas en cuanto a la utilización del teorema de Pitágoras.
Cabe resaltar que para poder comprender al máximo la temática a tratar es necesario tener un conocimiento básico en la solución de triángulos rectángulos mediante el uso del Teorema de Pitágoras.
El siguiente vídeo puede despejar algunas dudas en cuanto a la utilización del teorema de Pitágoras.
Luego de tener claro el concepto de Teorema de Pitágoras, el siguiente paso es comprender el concepto de razón trigonométrica a partir de un triangulo rectángulo y comparar dicho concepto con el de función trigonométrica a partir de una circunferencia unitaria.
Razones Trigonométricas
Una razón trigonométrica es una división entre catetos o entre hipotenusa y cateto en un triangulo rectángulo, como una triangulo tiene dos catetos y una hipotenusa entonces existen 6 posibilidades de hacer estas divisiones, cada posibilidad recibe un nombre y estas : seno, coseno,tangente, cotangente, secante y cosecante.
El siguiente vídeo tiene como finalidad aclarar el concepto de razón trigonométrica, dar un ejemplo y hacer una comparación con las funciones trigonométrica vistas desde una circunferencia unitaria
Razones Trigonométricas Para 30° y 60°
Hasta el momento hemos comprendido como las razones trigonométrica se aplican a los ángulos de un triangulo, pero se pueden determinar a partir de las divisiones entre sus lados. Queremos ahora tratar de determinar las razones trigonométricas para dos ángulos especiales como son 30° y 60°, decimos especiales porque se pueden fácilmente encontrar estos ángulos en cualquier triangulo equilátero.
Trataremos ahora de determinar las razones trigonométricas para un triangulo rectángulo en particular, hallada a partir de un triangulo equilátero cuyos lados miden 10
sabemos que la altura de este triangulo de define por dentro un triangulo rectángulo con ángulos de 30° y 60° como se expresa en la siguiente figura.
Si nos enfocamos ahora únicamente en este triángulo rectángulo, y aplicamos el teorema de Pitágoras encontrando la altura, tendremos el siguiente triángulo
A partir de este triángulo podemos comprobar las razones trigonométrica de dos maneras, por un lado haciendo las respectivas divisiones y por otro lado utilizando la calculadora científica , además se puede comprobar que estos resultados son iguales.
El siguiente vídeo aclara como poder hacer este proceso.
Trataremos ahora de determinar las razones trigonométricas para un triangulo rectángulo en particular, hallada a partir de un triangulo equilátero cuyos lados miden 10
Si nos enfocamos ahora únicamente en este triángulo rectángulo, y aplicamos el teorema de Pitágoras encontrando la altura, tendremos el siguiente triángulo
El siguiente vídeo aclara como poder hacer este proceso.
Si se toma un triangulo equilátero cualquiera, dentro de este se puede ver que sus tres ángulos miden 60°.
Partiendo de este hecho sabemos que la altura de este triángulo, formará dentro de este estos dos triángulos rectángulos semejantes con ángulos de 30° y 60°, tal como se muestra en la siguiente figura.
Ahora bien podemos entonces tener un triangulo rectángulo conformado respectivamente por los ángulos de 30° y 60° y sobre este determinar las razones trigonométricas para dichos ángulos.
Para poder hacer esta tarea, solo nos faltaría una cosa por hacer, y es determinar la altura del triángulo en función del lado L del mismo. Esta altura quedará determinada por la expresión
Al igual que en el caso del triángulo cuyos lados median 10, en este caso particular se podrán determinar las razones trigonométricas de manera general para ángulos de 30° y 60°.
El siguiente vídeo aclara estos procesos.
El siguiente vídeo aclara estos procesos.
Por ultimo podemos concluir que las razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60° quedan reunidas en la siguiente tabla.
Para poder concluir de una manera acertada esta actividad de estudio diríjase a la practica 28 de la pagina 16 del Taller Matemáticas 2 y solucione los 5 ejercicios planteados allí, tenga en cuenta los conceptos vistos hasta el momento. Este taller también contiene material de apoyo y repaso a los temas vistos hasta el momento en clase.
Libros y material de apoyo y/o complementación
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